Dans un stand de tir , un tireur tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles .

la probabilité que la première cible soit atteint est `0,5 `

lorsqu' une cible est atteinte , la probabilité que la suivante le soit est ` 0,75 `

lorsqu'une cible n'est pas atteinte la probabilité que la suivante le soit est ` 0,5`

On note pour tout ` n in N^(ast) : A_n text{ l'événement la n^(ième) cible atteinte } `

` a_n = P(A_n) ` et ` b_n = P(bar(A_n))`

1) a) Donner les valeurs de `a_1 ` et `b_1 `

b) Calculer `a_2 ` et `b_2 `

2a) Montrer que ` forall n in N^(ast) : a_(n+1)= 3/4a_n +1/2b_n ` et `a_(n+1)= 1/4a_n +1/2 `

b) En déduire par récurrence que ` forall n in N^(ast) : a_n = 2/3 -1/6(1/4)^(n-1) `

c) Déterminer `lim_{ n to +infty} a_n `

d) Déterminer le plus petit entier naturel `n` tel que `a_n >= 0, 666`